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由0和1構成的蟲(chóng)子

有一條蟲(chóng)子,它的整個(gè)身體由 n 節構成,每一節要么是有瑕疵的 1 ,要么是沒(méi)有瑕疵的 0 ,因而整個(gè)蟲(chóng)子的身體結構就可以用一個(gè) n 位 01 串來(lái)表示。你的目標是把整個(gè)蟲(chóng)子變成 000...00 的完美形式。每一次,你可以砍掉蟲(chóng)子最右側的一節,同時(shí)蟲(chóng)子會(huì )在最左側長(cháng)出新的一節,以保持蟲(chóng)子的總長(cháng)度不變。如果你砍掉的是一個(gè) 1 ,那么你可以指定蟲(chóng)子在最左側長(cháng)出的是 1 還是 0 ;但如果你砍掉的是一個(gè) 0 ,那么你無(wú)法控制蟲(chóng)子會(huì )在最左側長(cháng)出什么——它可能會(huì )長(cháng)出 0 ,也可能會(huì )長(cháng)出 1 ,因而你不得不假定,概率總是會(huì )和你做對,上天會(huì )竭盡全力地阻撓你。我們的問(wèn)題是:不管蟲(chóng)子的初始狀態(tài)是什么,你總能保證在有限步之內讓蟲(chóng)子變成 000...00 嗎?
注意,這個(gè)問(wèn)題可能沒(méi)有你想的那么簡(jiǎn)單。顯然,我們必須得把一些 1 變成 0 ,這樣才能讓 1 的數目逐漸減少并最終消失。但是,如果只是簡(jiǎn)單地每次都把 1 變成 0 ,最終也不見(jiàn)得就一定能取勝。比如,如果這條蟲(chóng)子是 101 ,那么去掉最右邊的 1 并選擇在左邊長(cháng)出一個(gè) 0 ,蟲(chóng)子會(huì )變成 010 ;再把 010 右邊的 0 去掉后,如果不巧左邊長(cháng)出的是 1 ,那么整條蟲(chóng)子又會(huì )回到 101 的狀態(tài)。如此反復,將永遠也不能得到 000 。而更加聰明的方法則是先把 101 變成 110 ,下一步蟲(chóng)子將會(huì )變成 111 或者 011 ,不管是哪種情況,接下來(lái)只需要逐個(gè)把 1 變成 0 就能獲勝了。運用恰當的策略才能走到終點(diǎn),這無(wú)疑讓問(wèn)題變得更加有趣。
不管蟲(chóng)子一開(kāi)始是什么樣子的,我們總能夠在有限步之內獲勝。下面是 Peter Winkler 給出的證明。讓我們把連續 n 次操作視為一輪操作,因而完成一輪操作正好讓蟲(chóng)子的整個(gè)身體更新一次。于是,每一輪操作實(shí)際上相當于是從右到左依次考慮蟲(chóng)子的每一位,每遇到一個(gè) 1 時(shí)你都可以選擇是否把它修改成 0 ,每遇到一個(gè) 0 時(shí)它都會(huì )隨機地被修改成 1 。我們一輪一輪地改造蟲(chóng)子的身體,并且每一輪都采取這樣的策略:從最右端開(kāi)始,每次遇到 1 都把它改成 0 ,直到第一次有 0 被改成 1 ;在此之后,不管新遇到的 0 變沒(méi)變,都保留所有的 1 不變。如果這一輪下來(lái)后,沒(méi)有 0 被改成 1 ,那么我們將會(huì )把所有的 1 都替換成 0 ,從而得到 000...00 的形式,直接獲得勝利;如果途中有 0 被改成了 1 ,那么整個(gè)蟲(chóng)子作為一個(gè)二進(jìn)制數將會(huì )嚴格增加。每經(jīng)過(guò)一輪后,只要蟲(chóng)子沒(méi)有變成 000...00 ,整個(gè)二進(jìn)制數都會(huì )變得更大,最終將會(huì )變成 111...11 的形式,此時(shí)再也不會(huì )有 0 變成 1 了,于是按照我們的策略,在下一輪中,所有的 1 都會(huì )變成 0 ,從而獲得勝利。
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